2021年天津卷数学高考真题

本卷为 2021年天津卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 72%。试卷适用地区：天津市。涉及知识点：交并补混合运算、判断命题的充分不必要条件、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、锥体体积的有关计算 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题容易

设集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

3.单选题容易

函数的图像大致为（       ）

A．	B．
C．	D．

4.单选题容易

从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（       ）

A．

B．

C．

D．

5.单选题容易

设，则a，b，c的大小关系为（       ）

A．

B．

C．

D．

6.单选题中等

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（       ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题容易

若，则（       ）

A．

B．

C．1

D．

8.单选题中等

已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）

A．

B．

C．2

D．3

9.单选题稍难

设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（       ）

A．	B．
C．	D．

10.填空题-单空题容易

是虚数单位，复数_____________．

11.填空题-单空题容易

在的展开式中，的系数是__________．

12.填空题-单空题容易

若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

13.填空题-单空题容易

若，则的最小值为____________．

14.填空题-双空题容易

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．

15.填空题-双空题中等

在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

16.解答题-问答题容易

在，角所对的边分别为，已知，．
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值．

17.解答题-证明题中等

如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．

18.解答题-问答题稍难

已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

19.解答题-证明题稍难

已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明

20.解答题-证明题稍难

已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

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