2024年全国甲卷数学高考真题

本卷为 2024年全国甲卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 74%。试卷适用地区：四川省,西藏自治区,内蒙古自治区,陕西省,青海省,宁夏回族自治区。涉及知识点：共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、交集的概念及运算、根据线性规划求最值或范围、计算古典概型问题的概率、元素（位置）有限制的排列问题、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

设，则（       ）

A．

B．

C．

D．2

2.单选题容易

若集合，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3.单选题中等

若满足约束条件，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

5.单选题容易

已知等差数列的前项和为，若，则（       ）

A．

B．

C．1

D．

6.单选题容易

已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（       ）

A．4

B．3

C．2

D．

7.单选题中等

设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（     ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题容易

函数在区间的图象大致为（       ）

A．	B．
C．	D．

9.单选题容易

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

10.单选题中等

已知直线与圆交于两点，则的最小值为（       ）

A．2

B．3

C．4

D．6

11.单选题中等

设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或                 ②若，则或
③若且，则            ④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（       ）

A．①③

B．②④

C．①②③

D．①③④

12.单选题中等

记的内角的对边分别为，若，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

函数在上的最大值是______．

14.填空题-单空题中等

已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．

15.填空题-单空题容易

已知且，则______．

16.填空题-单空题中等

曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．

17.解答题-问答题容易

已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.

18.解答题-应用题容易

某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	26	24	0	50
乙车间	70	28	2	100
总计	96	52	2	150

(1)填写如下列联表：

	优级品	非优级品
甲车间
乙车间

能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

19.解答题-证明题中等

如图，，，，,为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.

20.解答题-证明题中等

已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．

21.解答题-证明题稍难

已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

22.解答题-问答题中等

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求.

23.解答题-证明题中等

已知实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．

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