2021年全国甲卷数学高考真题

本卷为 2021年全国甲卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 79%。试卷适用地区：云南省,四川省,广西壮族自治区,贵州省,西藏自治区。涉及知识点：交集的概念及运算、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、复数的除法运算、根据解析式直接判断函数的单调性、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、指数式与对数式的互化 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

设集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3.单选题容易

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

下列函数中是增函数的为（       ）

A．

B．

C．

D．

5.单选题容易

点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）

A．

B．

C．

D．

6.单选题容易

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）

A．1.5

B．1.2

C．0.8

D．0.6

7.单选题容易

在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

在中，已知，，，则（       ）

A．1

B．

C．

D．3

9.单选题容易

记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）

A．7

B．8

C．9

D．10

11.单选题中等

若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

12.单选题容易

设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

若向量满足，则_________.

14.填空题-单空题容易

已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

15.填空题-单空题中等

已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

16.填空题-单空题容易

已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

17.解答题-问答题容易

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

18.解答题-证明题容易

记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.

19.解答题-问答题中等

已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.

20.解答题-问答题中等

设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

21.解答题-问答题稍难

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

22.解答题-问答题中等

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

23.解答题-作图题中等

已知函数．

（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．

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