2022年全国甲卷数学高考真题

本卷为 2022年全国甲卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 78%。试卷适用地区：云南省,四川省,广西壮族自治区,贵州省,西藏自治区。涉及知识点：交集的概念及运算、众数、平均数、中位数的比较、计算几个数据的极差、方差、标准差、共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、柱体体积的有关计算、根据三视图求几何体的体积 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

设集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（       ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.单选题容易

若．则（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8

B．12

C．16

D．20

5.单选题容易

将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．

6.单选题容易

从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题容易

函数在区间的图象大致为（       ）

A．	B．
C．	D．

8.单选题容易

当时，函数取得最大值，则（       ）

A．

B．

C．

D．1

9.单选题容易

在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（       ）

A．	B．AB与平面所成的角为
C．	D．与平面所成的角为

10.单选题中等

甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

11.单选题容易

已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

12.单选题中等

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

已知向量．若，则______________．

14.填空题-单空题容易

设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

15.填空题-单空题容易

记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

16.填空题-单空题中等

已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

17.解答题-问答题容易

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

	准点班次数	未准点班次数
A	240	20
B	210	30

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

18.解答题-证明题容易

记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．

19.解答题-证明题中等

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

20.解答题-问答题稍难

已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．

21.解答题-问答题稍难

设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

22.解答题-问答题容易

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

23.解答题-问答题中等

已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．

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