2022年全国甲卷数学高考真题

本卷为 2022年全国甲卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 75%。试卷适用地区：云南省,四川省,广西壮族自治区,贵州省,西藏自治区。涉及知识点：共轭复数的概念及计算、众数、平均数、中位数的比较、计算几个数据的极差、方差、标准差、交并补混合运算、柱体体积的有关计算、根据三视图求几何体的体积、识别正（余）弦型三角函数的图象、函数图像的识别 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（       ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.单选题容易

设全集，集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8

B．12

C．16

D．20

5.单选题容易

函数在区间的图象大致为（       ）

A．	B．
C．	D．

6.单选题容易

当时，函数取得最大值，则（       ）

A．

B．

C．

D．1

7.单选题容易

在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（       ）

A．	B．AB与平面所成的角为
C．	D．与平面所成的角为

8.单选题中等

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（       ）

A．

B．

C．

D．

9.单选题中等

甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

10.单选题中等

椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

11.单选题中等

设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

12.单选题中等

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

14.填空题-单空题容易

若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

16.填空题-单空题中等

已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

17.解答题-证明题容易

记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．

18.解答题-证明题中等

在四棱锥中，底面．

(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

20.解答题-问答题稍难

设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

21.解答题-证明题稍难

已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．

22.解答题-问答题容易

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

23.解答题-问答题中等

已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．

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