2026年上海卷数学高考真题

【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意.

【详解】设数列的公比为，则，则.

【详解】．

##

【详解】因为互斥，所以.

【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得.

【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为.

##

【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为.

##

【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得.

【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以.

【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以， 所以， 方法二：因为，，两两不平行， 所以，， 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以， 因为，可设， 所以，， 所以，， 所以，所以.

【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则， 即，则， 解得， 解得，当时取得最小正数，， 此时．

【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）

B

【详解】由，则.

C

【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.

D

【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论. 【详解】设，，，， 则，，，， ，， ，， 因为和互相伴随，所以， 若，则为实数，所以和互相伴随， 若和互相伴随，则， 所以和互相伴随的充要条件为.

A

【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：设，列方程分析点的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点的轨迹即为的内切圆，即可判断结果. 【详解】不妨设正方体的棱长为3， 则，，， 可得，， 设点在体对角线上的投影为，，， 则， 可得，解得， 则，即，且， 可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 解法一：在点的轨迹任取一点，则， 则，整理可得， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 所以点轨迹经过空间中的1个卦限； 解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示： 则，，， 可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径， 即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

（1）；

【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间； （3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可. 【小问1详解】 9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. 【小问2详解】 统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. 【小问3详解】 采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.

（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为．

（1）

【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，， 在与中， ，解得， ∴， ∵， ∴，解得或或 ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中，， ∴ ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为：，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 在中，，与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，， 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为.

（1）

【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. 【小问2详解】 解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. 【小问3详解】 不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.

（1）是排列；

【分析】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. 【小问2详解】 若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. 【小问3详解】 略.