2020年天津卷数学高考真题

本卷为 2020年天津卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 71%。试卷适用地区：天津市。涉及知识点：交并补混合运算、判断命题的充分不必要条件、函数图像的识别、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、球的表面积的有关计算、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、根据双曲线的渐近线求标准方程 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题容易

设全集，集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

3.单选题容易

函数的图象大致为（       ）

A．	B．
C．	D．

4.单选题容易

从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（       ）

A．10

B．18

C．20

D．36

5.单选题容易

若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

6.单选题容易

设，则的大小关系为（       ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①

B．①③

C．②③

D．①②③

9.单选题中等

已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（       ）

A．	B．
C．	D．

10.填空题-单空题容易

是虚数单位，复数_________．

11.填空题-单空题容易

在的展开式中，的系数是_________．

12.填空题-单空题容易

已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

13.填空题-单空题中等

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

14.填空题-单空题中等

已知，且，则的最小值为_________．

15.填空题-双空题稍难

如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

16.解答题-问答题中等

在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．

17.解答题-证明题中等

如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18.解答题-问答题中等

已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

19.解答题-证明题稍难

已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

20.解答题-证明题稍难

已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．

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