2019年天津卷数学高考真题

本卷为 2019年天津卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 70%。试卷适用地区：天津市。涉及知识点：集合的交并补、根据线性规划求最值或范围、必要不充分条件、根据条件结构框图计算输出结果、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、比较指数幂的大小、研究对数函数的单调性、三角函数的图象变换 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题容易

设集合， ， ，则

A．{2}

B．{2，3}

C．{-1，2，3}

D．{1，2，3，4}

2.单选题容易

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2

B．3

C．5

D．6

3.单选题容易

设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4.单选题容易

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为

A．5

B．8

C．24

D．29

5.单选题中等

已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为

A．

B．

C．2

D．

6.单选题容易

已知，，，则的大小关系为

A．	B．
C．	D．

7.单选题中等

已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（       ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(   )

A．

B．

C．

D．

9.填空题-单空题容易

是虚数单位，则的值为__________.

10.填空题-单空题容易

展开式中的常数项为________.

11.填空题-单空题容易

已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

12.填空题-单空题中等

设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.

13.填空题-单空题中等

设，则的最小值为______.

14.填空题-单空题中等

在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.

15.解答题-问答题中等

在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

16.解答题-应用题中等

设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

17.解答题-证明题中等

如图，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若二面角的余弦值为，求线段的长.

18.解答题-问答题中等

设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

19.解答题-问答题稍难

设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.

20.解答题-证明题稍难

设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明；
(3)设为函数在区间内的零点，其中，证明.

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