2016年天津卷数学高考真题

本卷为 2016年天津卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：天津市。涉及知识点：交集的概念及运算、根据线性规划求最值或范围、条件等式求最值、余弦定理解三角形、根据循环结构框图计算输出结果、判断命题的必要不充分条件、根据a、b、c求双曲线的标准方程、向量加法法则的几何应用 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题容易

已知集合，则（     ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为(       )

A．

B．6

C．10

D．17

3.单选题容易

在中，若       ，则=

A．1

B．2

C．3

D．4

5.单选题容易

设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的

A．充要条件	B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件	D．既不充分也不必要条件

6.单选题中等

已知双曲线（），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题稍难

已知函数（，且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

9.填空题-单空题容易

已知，是虚数单位，若，则的值为_______.

10.填空题-单空题容易

的展开式中的系数为__________.（用数字作答）

12.填空题-单空题容易

如图，是圆的直径，弦与相交于点E，，，则线段的长为__________.

13.填空题-单空题中等

已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.

14.填空题-单空题中等

设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为__________．

15.解答题-问答题中等

已知函数.
(1)求的定义域与最小正周期；
(2)讨论在区间上的单调性.

16.解答题-应用题中等

邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；
(2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．

17.解答题-证明题中等

如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.

(1)求证：//平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.

18.解答题-证明题稍难

已知是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的是 和的等比中项.
(1)设，求证： 是等差数列；
(2)设，求证：

19.解答题-问答题中等

设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

20.解答题-证明题稍难

设函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且，其中，求证：；
(3)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

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