2015年天津卷数学高考真题

本卷为 2015年天津卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 62%。试卷适用地区：天津市。涉及知识点：补集的概念及运算、交并补混合运算、根据线性规划求最值或范围、根据循环结构框图计算输出结果、判断命题的充分不必要条件、几何证明选讲、根据抛物线方程求焦点或准线、根据双曲线的渐近线求标准方程 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题中等

已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合

A．

B．

C．

D．

2.单选题中等

设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为

A．3

B．4

C．18

D．40

3.单选题中等

阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(　　)

A．-10	B．6
C．14	D．18

4.单选题中等

设，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

5.单选题中等

如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若 ，则线段 的长为

A．

B．3

C．

D．

6.单选题容易

已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（        ）

A．

B．

C．

D．

9.填空题-单空题中等

是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________.

10.填空题-单空题中等

一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为________ .

11.填空题-单空题中等

曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______________.

12.填空题-单空题中等

在 的展开式中，的系数为_______.

13.填空题-单空题容易

在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为___________．

14.填空题-单空题中等

在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________.

15.解答题-问答题中等

已知函数，
(1)求最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.

16.解答题-应用题中等

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

17.解答题-证明题稍难

如图，在四棱柱中，侧棱底面，， ，，，且点 和 分别为和的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设 为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段 的长.

18.解答题-问答题稍难

已知数列满足，（为实数，且），且成等差数列.
(1)求的值和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

19.解答题-问答题中等

已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.
（Ⅰ）求直线的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.

20.解答题-证明题稍难

已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： .

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