2021年全国甲卷数学高考真题

本卷为 2021年全国甲卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 75%。试卷适用地区：云南省,四川省,广西壮族自治区,贵州省,西藏自治区。涉及知识点：交集的概念及运算、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、复数的除法运算、指数式与对数式的互化、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、几何体三视图的概念及辨析、判断数列的增减性 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

设集合，则（       ）

A．	B．
C．	D．

3.单选题容易

已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）

A．1.5

B．1.2

C．0.8

D．0.6

5.单选题容易

已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

6.单选题容易

在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.单选题中等

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（       ）

A．346

B．373

C．446

D．473

9.单选题中等

若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

10.单选题容易

将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

11.单选题中等

已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

12.单选题稍难

设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

曲线在点处的切线方程为__________．

14.填空题-单空题容易

已知向量．若，则________．

15.填空题-单空题容易

已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

16.填空题-单空题容易

已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

17.解答题-问答题容易

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

18.解答题-证明题容易

已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19.解答题-证明题中等

已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

20.解答题-问答题稍难

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

21.解答题-问答题稍难

已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

22.解答题-问答题中等

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

23.解答题-作图题中等

已知函数．

（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．

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