2020年新课标Ⅰ卷数学高考真题
本卷为 2020年新课标Ⅰ卷数学高考真题，共 22 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：山东省。涉及知识点：并集的概念及运算、复数的基本概念、排列组合综合、球的截面的性质及计算、容斥原理的应用、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 等。
试卷全文（共 22 题）
1.单选题容易
设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
| A．{x|2<x≤3} | B．{x|2≤x≤3} |
| C．{x|1≤x<4} | D．{x|1<x<4} |
2.单选题容易
（ ）| A．1 | B．−1 |
| C．i | D．−i |
3.单选题容易
6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
| A．120种 | B．90种 |
| C．60种 | D．30种 |
4.单选题中等
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
| A．20° | B．40° |
| C．50° | D．90° |
5.单选题容易
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
| A．62% | B．56% |
| C．46% | D．42% |
6.单选题中等
基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数
随时间
（单位：天）的变化规律，指数增长率
与，近似满足
.有学者基于已有数据估计出
，
据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（
）（ ）
与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ ）| A．1.2天 | B．1.8天 |
| C．2.5天 | D．3.5天 |
7.单选题容易
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则
的取值范围是（ ）
的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
8.单选题中等
若定义在
的奇函数
在
单调递减，且
，则满足
的x的取值范围是（ ）
的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
9.多选题-3个答案中等
已知曲线
.（ ）
.（ ）| A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 |
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 |
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 |
| D．若m=0，n>0，则C是两条直线 |
10.多选题-2个答案中等
下图是函数
的部分图像，则
（ ）
的部分图像，则 （ ）
A． | B． | C． | D． |
11.多选题-3个答案中等
已知
，且
，则（ ）
，且，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
12.多选题-2个答案稍难
信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为
，且
，定义X的信息熵
.则（ ）
，且，定义X的信息熵.则（ ）| A．若n=1，则H(X)=0 |
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大 |
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大 |
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y) |
13.填空题-单空题容易
斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则
=________ ．
的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=14.填空题-单空题中等
将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________ ．
15.填空题-单空题中等
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=
，
，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________ cm2．
，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为
16.填空题-单空题中等
已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以
为球心，
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________ ．
为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为17.解答题-问答题中等
在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在
，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.解答题-问答题中等
已知公比大于
的等比数列
满足
．
（1）求的通项公式；
（2）记
为在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
的等比数列满足．（1）求
的通项公式；（2）记
为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
19.解答题-问答题中等
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的
和
浓度（单位：
），得下表：浓度不超过
，且浓度不超过
”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：
，
天空气中的和浓度（单位：），得下表：
浓度不超过，且浓度不超过”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的
列联表：
的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：
，
20.解答题-证明题中等
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21.解答题-问答题稍难
已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a的取值范围．
．（1）当
时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式
恒成立，求a的取值范围．
22.解答题-证明题稍难
已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
（1）求
的方程：
（2）点
，
在上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，使得
为定值．
的离心率为，且过点．（1）求
的方程：（2）点
，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．