2019年全国Ⅱ卷数学高考真题

本卷为 2019年全国Ⅱ卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：内蒙古自治区,辽宁省,吉林省,黑龙江省,陕西省,甘肃省,青海省,宁夏回族自治区,新疆维吾尔自治区,重庆市,海南省。涉及知识点：解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、复数的几何意义、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、建立拟合函数模型解决实际问题、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 等。

试卷全文（共 23 题）

2.单选题容易

设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限	B．第二象限
C．第三象限	D．第四象限

3.单选题容易

已知，，，则

A．	B．
C．	D．

4.单选题中等

2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M_１，月球质量为M_２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A．	B．
C．	D．

6.单选题容易

若，则下列不等式正确的是（     ）

A．	B．
C．	D．

7.单选题中等

设，为两个平面，则的充要条件是（   ）

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．,平行于同一条直线

D．,垂直于同一平面

8.单选题容易

若抛物线y²=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2	B．3
C．4	D．8

9.单选题中等

下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是

A．	B．
C．	D．

10.单选题中等

已知，，则（       ）

A．	B．
C．	D．

11.单选题中等

设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x²+y²=a²交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．	B．
C．2	D．

12.单选题中等

设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A．	B．
C．	D．

14.填空题-单空题容易

已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

15.填空题-单空题中等

的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

17.解答题-证明题中等

如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.

19.解答题-证明题中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， ，.

(1)证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；
(2)求{a_n}和{b_n}的通项公式.

20.解答题-证明题稍难

已知函数．

(1)讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
(2)设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

21.解答题-证明题稍难

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.

22.解答题-问答题中等

在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23.解答题-问答题中等

已知
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，，求的取值范围.

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