2018年全国Ⅱ卷数学高考真题

本卷为 2018年全国Ⅱ卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：内蒙古自治区,辽宁省,吉林省,黑龙江省,陕西省,甘肃省,青海省,宁夏回族自治区,新疆维吾尔自治区,重庆市,海南省。涉及知识点：复数的除法运算、列举法求集合中元素的个数、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别、用定义求向量的数量积、已知方程求双曲线的渐近线、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题中等

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

已知集合，则中元素的个数为（       ）

A．9

B．8

C．5

D．4

3.单选题中等

函数的图像大致为 (　　)

A．	B．
C．	D．

4.单选题中等

已知向量满足，，则

A．4

B．3

C．2

D．0

5.单选题容易

双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

6.单选题中等

在中，，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入

   

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．

B．

C．

D．

9.单选题容易

在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A．

B．

C．

D．

10.单选题中等

若在是减函数，则的最大值是

A．

B．

C．

D．

11.单选题中等

已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A．

B．

C．

D．

12.单选题中等

已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题中等

曲线在点处的切线方程为__________．

14.填空题-单空题容易

若满足约束条件 则的最大值为__________．

15.填空题-单空题中等

已知，，则__________．

16.填空题-单空题中等

已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

17.解答题-问答题中等

记为等差数列的前项和，已知，．
       （1）求的通项公式；
       （2）求，并求的最小值．

18.解答题-问答题中等

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

   

       为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
       （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
       （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19.解答题-问答题中等

设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

20.解答题-证明题中等

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21.解答题-问答题稍难

已知函数．
(1)若，证明：当时，；
(2)若在只有一个零点，求的值.

22.解答题-问答题中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

23.解答题-问答题中等

设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.

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