2019年全国Ⅰ卷数学高考真题
本卷为 2019年全国Ⅰ卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 73%。试卷适用地区：河北省,山西省,安徽省,福建省,江西省,山东省,河南省,湖北省,湖南省,广东省。涉及知识点：求复数的模、交并补混合运算、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、推理案例赏析、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、函数图像的识别、系统抽样 等。
试卷全文（共 23 题）
1.单选题容易
设
，则
=
，则=| A．2 | B． | C． | D．1 |
2.单选题容易
已知集合
，则
=（ ）
，则=（ ）A． | B． | C． | D． |
3.单选题容易
已知
，则
，则A． | B． | C． | D． |
4.单选题中等
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是| A．165 cm | B．175 cm | C．185 cm | D．190cm |
5.单选题容易
函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
在[—π，π]的图像大致为A． | B． |
C． | D． |
6.单选题中等
某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
| A．8号学生 | B．200号学生 | C．616号学生 | D．815号学生 |
7.单选题容易
tan255°=
| A．－2－ | B．－2+ | C．2－ | D．2+ |
8.单选题容易
已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
满足，且，则与的夹角为A． | B． | C． | D． |
9.单选题中等
如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= | B．A= | C．A= | D．A= |
10.单选题容易
双曲线C:
的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为| A．2sin40° | B．2cos40° | C． | D． |
11.单选题容易
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
， 
，则
（ ）| A．6 | B．5 | C．4 | D．3 |
12.单选题中等
已知椭圆C的焦点为
，过F2的直线与C交于A，B两点.若
，
，则C的方程为
，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． | B． | C． | D． |
13.填空题-单空题容易
曲线
在点
处的切线方程为___________ ．
在点处的切线方程为14.填空题-单空题容易
记Sn为等比数列{an}的前n项和.若
，则S4=___________ ．
，则S4=15.填空题-单空题中等
函数
的最小值为___________ ．
的最小值为16.填空题-单空题中等
已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________ ．
，那么P到平面ABC的距离为17.解答题-问答题中等
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 | 不满意 | |
男顾客 | 40 | 10 |
女顾客 | 30 | 20 |
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
18.解答题-问答题中等
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19.解答题-问答题中等
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(2)求点C到平面C1DE的距离．
(2)求点C到平面C1DE的距离．
20.解答题-证明题稍难
已知函数
，
为
的导数．
(1)证明：在区间
存在唯一零点；
(2)若
时，
，求a的取值范围．
，为的导数．(1)证明：
在区间存在唯一零点；(2)若
时，，求a的取值范围．
21.解答题-问答题中等
已知点A，B关于坐标原点O对称，
，
过点A，B且与直线
相切．
(1)若A在直线
上，求的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，
为定值？并说明理由．
，过点A，B且与直线 相切．(1)若A在直线
上，求的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，
为定值？并说明理由．
22.解答题-问答题中等
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23.解答题-问答题中等
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
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