2016年山东卷数学高考真题
本卷为 2016年山东卷数学高考真题，共 21 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：山东省。涉及知识点：共轭复数的概念及计算、求指数函数在区间内的值域、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、其他形式的目标函数的最值、由三视图还原几何体、根据三视图求几何体的体积 等。
试卷全文（共 21 题）
1.单选题中等
若复数z满足
其中i为虚数单位，则z=
其中i为虚数单位，则z=| A．1+2i | B．1 2i | C． | D． |
2.单选题容易
设集合
，
，则
（ ）
，，则（ ）A． | B． | C． | D． |
3.单选题容易
某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
| A．56 | B．60 | C．140 | D．120 |
4.单选题中等
若变量
满足
则
的最大值是（ ）
满足则的最大值是（ ）| A．4 | B．9 | C．10 | D．12 |
5.单选题容易
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A． | B． |
C． | D． |
6.单选题中等
已知直线a，b分别在两个不同的平面
，
内
则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 | A．充分不必要条件 | B．必要不充分条件 |
| C．充要条件 | D．既不充分也不必要条件 |
7.单选题中等
函数
的最小正周期是（ ）
的最小正周期是（ ）A． | B．π | C． | D．2π |
8.单选题中等
已知非零向量
满足
，
=
．若
，则实数t的值为
满足，=．若，则实数t的值为| A．4 | B．–4 | C． | D．– |
9.单选题中等
已知函数
的定义域为
.当
时，
；当
时，
；当
时，
.则
的定义域为.当时，；当时，；当时，.则A． | B． | C． | D． |
10.单选题中等
若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有
性质．下列函数中具有性质的是（ ）
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）A． | B． | C． | D． |
11.填空题-单空题中等
执行下面的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为____ .
12.填空题-单空题容易
若
的展开式中
的系数是
，则实数
_______ .
的展开式中的系数是，则实数 13.填空题-单空题中等
已知双曲线
．矩形
的四个顶点在
上，
的中点为的两个焦点，且
，则的离心率是_______ ．
．矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是14.填空题-单空题容易
在
上随机地取一个数
，则事件“直线
与圆
相交”发生的概率为__________ ．
上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为15.填空题-单空题中等
已知函数
，其中
，若存在实数
，使得关于
的方程
有三个不同的根，则
的取值范围是________________ .
，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是16.解答题-证明题中等
在
中，角
、
、
的对边分别为
、、
.已知
.
(1)证明：
；
(2)求
的最小值．
中，角、、的对边分别为、、.已知.(1)证明：
；(2)求
的最小值．
17.解答题-证明题中等
在如图所示的圆台中，
是下底面圆
的直径， 
是上底面圆
的直径，
是圆台的一条母线.
分别为
，的中点，求证：
平面
；
(2)已知
，
.求二面角 
的余弦值.
是下底面圆的直径， 是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.
分别为，的中点，求证：平面；(2)已知
，.求二面角 的余弦值.
18.解答题-问答题中等
已知数列
的前n项和
，
是等差数列，且
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
.求数列
的前n项和
.
的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列
的通项公式； （Ⅱ）令
.求数列的前n项和.
19.解答题-问答题中等
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
20.解答题-问答题中等
已知
．
(1)讨论的单调性；
(2)当
时，证明
对于任意的
成立．
．(1)讨论
的单调性；(2)当
时，证明对于任意的成立．
21.解答题-证明题稍难
平面直角坐标系
中，椭圆C：
的离心率是
，抛物线E：
的焦点F是C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线
与C交与不同的两点A，B，线段
的中点为D，直线
与过P且垂直于
轴的直线交于点M．
（ⅰ）求证：点M在定直线上;
（ⅱ）直线与
轴交于点G，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标．
中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线
与C交与不同的两点A，B，线段的中点为D，直线与过P且垂直于轴的直线交于点M．（ⅰ）求证：点M在定直线上;
（ⅱ）直线
与轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．