2015年四川卷数学高考真题

本卷为 2015年四川卷数学高考真题，共 21 道题，平均得分率 68%。试卷适用地区：四川省。涉及知识点：并集的概念及运算、复数的除法运算、根据循环结构框图计算输出结果、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、已知方程求双曲线的渐近线、分类加法计数原理 等。

试卷全文（共 21 题）

1.单选题容易

设集合，集合，则（　　）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

设i是虚数单位，则复数

A．-i

B．-3i

C．i

D．3i

3.单选题容易

执行如图所示的程序框图，输出S的值是

A．

B．

C．

D．

4.单选题中等

下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（   ）

A．	B．
C．	D．

5.单选题中等

过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（ ）

A．

B．2

C．6

D．4

7.单选题中等

设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）

A．20

B．15

C．9

D．6

8.单选题容易

设，都是不等于的正数，则“”是“”的

A．充要条件	B．充分不必要条件
C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件

9.单选题稍难

如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为

A．16

B．18

C．25

D．

10.单选题中等

设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是

A．

B．

C．

D．

11.填空题-单空题容易

在的展开式中，含的项的系数是______（用数字作答）.

12.填空题-单空题容易

_______.

13.填空题-单空题中等

某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时.

14.填空题-单空题中等

如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .

15.填空题-单空题中等

已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.

现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数，都有；

（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；

（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；

（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.

其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）.

16.解答题-问答题中等

设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．

18.解答题-问答题中等

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为

(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
(2)证明：直线平面
(3)求二面角的余弦值.

19.解答题-问答题中等

如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.

(1)证明：
(2)若求的值.

20.解答题-问答题稍难

如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

21.解答题-问答题稍难

已知函数，其中.
(1)设是的导函数，讨论的单调性；
(2)证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

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