2021年全国乙卷数学高考真题

本卷为 2021年全国乙卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 80%。试卷适用地区：内蒙古自治区,吉林省,黑龙江省,陕西省,甘肃省,青海省,宁夏回族自治区,新疆维吾尔自治区,山西省,安徽省,江西省,河南省。涉及知识点：交并补混合运算、复数的除法运算、判断“且”命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、根据线性规划求最值或范围 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

已知全集，集合，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

设，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3.单选题容易

已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

函数的最小正周期和最大值分别是（       ）

A．和

B．和2

C．和

D．和2

5.单选题容易

若满足约束条件则的最小值为（       ）

A．18

B．10

C．6

D．4

6.单选题容易

（       ）

A．

B．

C．

D．

7.单选题容易

在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题容易

下列函数中最小值为4的是（       ）

A．	B．
C．	D．

9.单选题容易

设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10.单选题容易

在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（       ）

A．

B．

C．

D．

11.单选题容易

设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．2

12.单选题中等

设，若为函数的极大值点，则（       ）

A．

B．

C．

D．

13.填空题-单空题容易

已知向量，若，则_________．

14.填空题-单空题容易

双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15.填空题-单空题容易

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

16.填空题-单空题中等

以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

17.解答题-问答题容易

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18.解答题-证明题容易

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．

19.解答题-证明题中等

设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

20.解答题-问答题中等

已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21.解答题-问答题稍难

已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

22.解答题-问答题容易

在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23.解答题-问答题中等

已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．

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