2020年全国Ⅲ卷数学高考真题

已知集合，，则中元素的个数为（       ）

A．2

B．3

C．4

D．6

复数的虚部是（       ）

A．

B．

C．

D．

在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（     ）

A．

B．

C．

D．

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）

A．60

B．63

C．66

D．69

设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A．

B．

C．

D．

在中，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（       ）

A．6+4

B．4+4

C．6+2

D．4+2

已知，则（       ）

A．–2

B．–1

C．1

D．2

若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（       ）

A．1

B．2

C．4

D．8

已知，．设，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

关于函数有如下四个命题：
①的图象关于y轴对称．
②的图象关于原点对称．
③的图象关于直线x=对称．
④的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．

设数列{a_n}满足a₁=3，．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次 空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附：，

P(K2≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

(1)证明：点在平面内；
(2)若，，，求二面角的正弦值．

已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
(1)求b．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．