2017年全国Ⅲ卷数学高考真题

本卷为 2017年全国Ⅲ卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 73%。试卷适用地区：云南省,广西壮族自治区,贵州省,四川省,西藏自治区。涉及知识点：交集的概念及运算、判断复数对应的点所在的象限、根据折线统计图解决实际问题、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、根据线性规划求最值或范围、三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

已知集合，则中元素的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4

2.单选题中等

复平面内表示复数的点位于（       ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4.单选题中等

已知，则（          ）

A．

B．

C．

D．

5.单选题容易

设满足约束条件，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

6.单选题中等

函数的最大值为

A．

B．1

C．

D．

7.单选题容易

函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（       ）

A．

B．

C．

D．

8.单选题中等

执行下面的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（   ）

A．5

B．4

C．3

D．2

9.单选题容易

已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．	B．
C．	D．

10.单选题中等

在正方体中，为棱的中点，则（       ）

A．

B．

C．

D．

11.单选题中等

（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A₁，A₂，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．	B．
C．	D．

12.单选题中等

已知函数有唯一零点，则

A．

B．

C．

D．1

13.填空题-单空题容易

已知向量，且，则_______.

14.填空题-单空题容易

双曲线的一条渐近线方程为，则________．

15.填空题-单空题容易

的内角的对边分别为．已知，则_________．

16.填空题-单空题中等

设函数则满足的x的取值范围是____________.

17.解答题-问答题容易

设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．

18.解答题-应用题中等

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温
天数

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．

19.解答题-证明题中等

如图，四面体中，是正三角形，．

(1)证明：；
(2)已知是直角三角形，．若E为棱BD上与D不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比．

20.解答题-证明题中等

在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

21.解答题-问答题稍难

已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.

22.解答题-问答题中等

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为（t为参数），直线l₂的参数方程为.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l₃与C的交点，求M的极径.

23.解答题-问答题中等

已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求实数的取值范围.

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