2015年广东卷数学高考真题

本卷为 2015年广东卷数学高考真题，共 21 道题，平均得分率 73%。试卷适用地区：广东省。涉及知识点：交集的概念及运算、共轭复数的概念及计算、复数的乘除和乘方、函数的奇偶性、古典概型、过圆上一点的圆的切线方程、根据线性规划求最值或范围、根据离心率求双曲线的标准方程 等。

试卷全文（共 21 题）

2.单选题容易

若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=

A．2﹣3i

B．2+3i

C．3+2i

D．3﹣2i

3.单选题中等

下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A．y=

B．y=x+

C．y=2x+

D．y=x+ex

4.单选题容易

袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为

A．

B．

C．

D．1

5.单选题容易

平行于直线2x+y+1=0且与圆x²+y²=5相切的直线的方程是（　　）

A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0	B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0	D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0

6.单选题容易

若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为

A．4

B．

C．6

D．

7.单选题中等

已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F₂（5，0），则双曲线C的方程为

A．﹣=1

B．﹣=1

C．﹣=1

D．﹣=1

9.填空题-单空题中等

在（﹣1）⁴的展开式中，x的系数为_______．

11.填空题-单空题容易

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=_______．

14.填空题-单空题容易

已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为_____________．

16.解答题-问答题中等

在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．

17.解答题-应用题中等

某工厂36名工人年龄数据如图：

工人编号	年龄	工人编号	年龄	工人编号	年龄	工人编号	年龄
1	40	10	36	19	27	28	34
2	44	11	31	20	43	29	39
3	40	12	38	21	41	30	43
4	41	13	39	22	37	31	38
5	33	14	43	23	34	32	42
6	40	15	45	24	42	33	53
7	45	16	39	25	37	34	37
8	42	17	38	26	44	35	49
9	43	18	36	27	42	36	39

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算（1）中样本的均值和方差；
(3)36名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

19.解答题-问答题中等

设a＞1，函数f（x）=（1+x²）e^x﹣a．
(1)求f（x）的单调区间；
(2)证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
(3)若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．

20.解答题-问答题中等

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

21.解答题-问答题稍难

数列{a_n}满足：a₁+2a₂+…na_n=4﹣，n∈N⁺．

(1)求a₃的值；
(2)求数列{a_n}的前 n项和T_n；
(3)令b₁=a₁，b_n=+（1+++…+）a_n（n≥2），证明：数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n＜2+2lnn．

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