2015年北京卷数学高考真题

本卷为 2015年北京卷数学高考真题，共 20 道题，平均得分率 76%。试卷适用地区：北京市。涉及知识点：交集的概念及运算、由圆心（或半径）求圆的方程、求含cosx的函数的奇偶性、求含sinx的函数的奇偶性、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据循环结构框图计算输出结果、判断命题的充分不必要条件、由三视图还原几何体 等。

试卷全文（共 20 题）

1.单选题容易

若集合，，则

A．	B．
C．	D．

2.单选题容易

圆心为且过原点的圆的方程是

A．

B．

C．

D．

3.单选题中等

下列函数中为偶函数的是

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（ ）

类别	人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计

A．

B．

C．

D．

5.单选题中等

执行如图所示的程序框图，输出的的值为．

A．

B．

C．

D．

6.单选题中等

设，是非零向量，“”是“”的

A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

7.单选题容易

某四棱锥的三视图如上图（右）所示,该四棱锥最长棱棱长为

A．1

B．

C．

D．2

8.单选题中等

某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

加油时间	加油量（升）	加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）

A．升

B．升

C．升

D．升

9.填空题-单空题容易

复数的实部为_________．

10.填空题-单空题容易

，，三个数中最大数的是         ．

11.填空题-单空题容易

在中，，，，则_________．

12.填空题-单空题中等

已知是双曲线（）的一个焦点，则______．

13.填空题-单空题容易

如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为_______．

15.解答题-问答题中等

已知函数．
（1）求的最小正周期．
（2）求在区间上的最小值．

16.解答题-问答题容易

已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？

17.解答题-问答题中等

某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

	甲	乙	丙	丁
	√	×	√	√
	×	√	×	√
	√	√	√	×
	√	×	√	×
	√	×	×	×
	×	√	×	×

（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

18.解答题-证明题中等

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．

19.解答题-问答题中等

设函数， ．
(1)求的单调区间和极值；
(2)证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

20.解答题-问答题中等

已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若垂直于轴，求直线的斜率；
(3)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

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