2015年湖南卷数学高考真题

本卷为 2015年湖南卷数学高考真题，共 21 道题，平均得分率 73%。试卷适用地区：湖南省。涉及知识点：复数的除法运算、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、判断命题的充分不必要条件、根据线性规划求最值或范围、根据条件结构框图计算输出结果、裂项相消法求和、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、基本不等式求和的最小值 等。

试卷全文（共 21 题）

1.单选题容易

已知=（为虚数单位），则复数

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
   
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（     ）

A．3

B．4

C．5

D．6

3.单选题容易

设R，则“＞1”是“＞1”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4.单选题容易

若变量满足约束条件 ，则的最小值为

A．

B．0

C．1

D．2

5.单选题中等

执行如图所示的程序框图，如果输入，输出的

A．

B．

C．

D．

6.单选题容易

若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．

7.单选题容易

若实数满足，则的最小值为

A．

B．2

C．

D．4

8.单选题中等

设函数，则是

A．奇函数，且在上是增函数	B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数	D．偶函数，且在上是减函数

9.单选题容易

已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为

A．6

B．7

C．8

D．9

10.单选题中等

某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A．

B．

C．

D．

11.填空题-单空题容易

已知集合，，则_____.

12.填空题-单空题容易

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为_____.

13.填空题-单空题容易

若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则_____.

14.填空题-单空题中等

若函数有两个零点，则实数的取值范围_________.

15.填空题-单空题中等

已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则_____.

16.解答题-问答题中等

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．

17.解答题-问答题中等

设的内角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)若，且为钝角，求.

18.解答题-问答题中等

如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．

（１）证明：平面平面；
（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

19.解答题-问答题中等

设数列的前项和为，已知，且，
(1)证明：；
(2)求．

20.解答题-问答题稍难

已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，求直线的斜率.

21.解答题-证明题稍难

函数，记 为的从小到大的第 个极值点．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若对一切恒成立，求 的取值范围．

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