2015年湖南卷数学高考真题

本卷为 2015年湖南卷数学高考真题，共 23 道题，平均得分率 70%。试卷适用地区：湖南省。涉及知识点：复数的除法运算、探求命题为真的充要条件、根据条件结构框图计算输出结果、裂项相消法求和、根据线性规划求最值或范围、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 等。

试卷全文（共 23 题）

1.单选题容易

已知=（为虚数单位），则复数

A．

B．

C．

D．

2.单选题容易

设，是两个集合，则“”是“”的

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

3.单选题中等

执行如图所示的程序框图，如果输入，输出的

A．

B．

C．

D．

4.单选题容易

若变量，满足约束条件，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．1

D．2

5.单选题中等

设函数，则是

A．奇函数，且在上是增函数	B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数	D．偶函数，且在上是减函数

6.单选题中等

已知的展开式中含的项的系数为，则等于（       ）．

A．

B．

C．

D．

7.单选题中等

在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为

附：若，则则，

A．2386

B．2718

C．3413

D．4772

8.单选题容易

已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为

A．6

B．7

C．8

D．9

9.单选题中等

将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则

A．

B．

C．

D．

10.单选题中等

某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）

A．

B．

C．

D．

11.填空题-单空题中等

______.

13.填空题-单空题容易

设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为______．

14.填空题-单空题容易

设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则_____.

15.填空题-单空题中等

已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．

16.解答题-问答题中等

如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：

（1）；
（2）

17.解答题-问答题中等

已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.

18.解答题-问答题中等

设，，且.证明：
(1)；
(2)与不可能同时成立．

19.解答题-证明题中等

设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.

20.解答题-问答题中等

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.

21.解答题-证明题容易

如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形， ，且底面 ，点分别在棱 上．

(1)若是的中点，证明：；
(2)若平面 ，二面角的余弦值为 ，求四面体的体积．

22.解答题-问答题稍难

已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
(1)求的方程；
(2)过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向，
（ⅰ）若，求直线的斜率，
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形.

23.解答题-证明题稍难

已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：
(1)数列是等比数列；
(2)若，则对一切，恒成立.

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